Introduction

이 챕터는 곡선에 대하여 배운다. 지금까지 곡선이라고 하면 다항함수, 삼각함수, 지수함수, 쌍곡선 함수 등과 같은 고정된 형태의 곡선만 다뤘다.

그래서 좀 더 다양한 형태의 곡선을 다룰 수 있는 방법에 대해 학습한다. 먼저 책의 설명에는 곡선(Curves)과 곡면(Surfaces)는 두 가지의 관점이 있다고 한다.

간단하게 설명하자면 local properties와 이웃한 점의 관계에 초점을 맞춘 classical differential geometry과 local properties의 전체 곡선, 곡면에 대한 영향인 global differential geometry가 있다.

먼저 classical에 대해 학습하고 이후 책의 뒤에서 global에 대해 학습한다.

Parametrized Curves

미분 기하학을 다루기 위해 우리는 differentiable(smooth) 하다는 의미를 먼저 정의를 해야 한다.

일단 미분 가능 하려면 모든 점에서 모든 방향(3차원)으로 미분 가능해야 한다.

그래서 곡선을 다음과 같이 정의하는데, 전체에서 만족하는 정의는 아니지만, 이번 챕터의 목적으로는 충분하다.

DEFINITION. A parametrized differentiable curve is a differentiable map $\alpha$: $I$ $\rightarrow$ $R^3$ of an open interval $I$ $= (a, b)$ of the real line $R$ into $R^3$

위의 정의는 다음과 같이 해석할 수 있다.

$R^3$(3차원) 공간에서 $R$(1차원) 실선이 $\alpha$(diffrentiable map) 위에 열린 공간 $I = (a, b)$이면 parametrized differentiable curve라고 정의한다.

위에서 정의한 것과 같이 $t \in I$인 점에서 미분 가능한 $x(t), y(t), z(t)$ 함수로 곡선을 $\alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)) \in R^3$과 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $t$는 곡선$\alpha$의 parameter이다.

interval은 일반적인 경우의 $a = -\infty, b = +\infty$로 생각한다.

$\alpha$의 도함수는 $\alpha'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) \in R^3$과 같이 나타내며, $\alpha$의 $t$에 대한 tangent vector 또는 velocity vector 이라고 한다.

$\alpha(I) \subset R^3$은 $\alpha$의 trace(자취) 라고 부른다.

Examples

Example 1.

$$ \alpha = (a{\cos}t, a{\sin}t, bt), \quad t \in R $$

Figure 1-1은 $R^3$에서 $x^2 + y^2 = a^2$인 cylinder위에 $2{\pi}b$ 간격의 helix인 자취이다. $t$는 $x$ 축과의 각도를 나타낸다.

Example 2.

$$ \alpha: R \rightarrow R^2, \quad \alpha(t) = (t^3, t^2), \quad t \in R $$

Figure 1-2는 parametrized differentiable curve이고 $t = 0$ 일 때, velocity vector도 $0$이다. (a.k.a $\alpha'(0) = (0, 0) = 0$)

Example 3.

$$ \alpha: R \rightarrow R^2, \quad \alpha(t) = (t^3 - 4t, t^2 - 4), \quad t \in R $$

Figure 1-3도 parametrized differentiable curve이다. 하지만 $\alpha(2) = \alpha(-2) = (0, 0)$ 이므로 $\alpha$는 one-to-one(일대일 대응)이 아니다.

Example 4.

$$ \alpha: R \rightarrow R^2, \quad \alpha(t) = (t, |t|), \quad t \in R $$

Figure 1-4는 parametrized differentiable curve 아니다. 왜냐하면 $|t|$로 인하여 $t = 0$에서 미분 불가능하기 때문이다.

Example 5.

$$ \begin{align*} \alpha(t) & = ({\cos}t, {\sin}t) \newline \beta(t) & = ({\cos}2t, {\sin}2t) \end{align*} $$

Figure 1-5의 두 수식 모두 $x^2 + y^2 = 1$로 동일한 자취를 남긴다. 하지만 velocity vector를 구했을 때는 $\beta$가 $\alpha$보다 2배의 크기를 가진다.

3D Vector Definition

위에서 2,3차원 곡선의 매개변수로 표현했을 때 미분 가능한 여부와 특징에 대해 살펴보았다. 이 책의 후반부 까지 도형을 매개변수로 표현하기 때문에 잘 숙지하길 바란한다.

이번에는 3차원 공간에서 벡터에 대한 특징에 대해서 간단히 짚고 넘어가겠다.

먼저 3차원 벡터는 $u = (u_1, u_2, u_3) \in R^3$과 같이 나타내며, 우리는 이것의 길이(length or norm)을 다음과 같이 나타낸다.

$$ |u| = \sqrt{u^2_1 + u^2_2 + u^2_3} $$

기하학에서 $|u|$는 점$(u_1, u_2, u_3)$의 원점(O)로부터의 거리를 나타낸다.

$u = (u_1, u_2, u_3)$와 $v = (v_1, v_2, v_3)$가 $R^3$에 속해있고, 두 벡터 $\overrightarrow{OU}$와 $\overrightarrow{OV}$가 이루는 각을 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$)라고 하자. 그러면 두 벡터의 내적($u \sdot v$)inner product 는 다음과 같이 나타낸다.

$$ u \sdot v = |u||v|\cos\theta $$

그리고 내적은 다음과 같은 특징을 가진다.

1. $u$와 $v$가 영벡터(nonzero)가 아닐 때, $u \sdot v = 0$ iff $u$와 $v$는 수직(orthogonal)
2. $u \sdot v = v \sdot v$
3. $\lambda (u \sdot v) = \lambda u \sdot v = u \sdot \lambda v$
4. $u \sdot (v+w) = u \sdot v + u \sdot w$

iff 는 if and only if의 축약어로 필요충분조건을 나타냄

그리고 내적을 위한 유용한 표현으로 $x,y,z$축의 단위 벡터로 다음과 같이 나타낸다.

$$ e_1 = (1,0,0), \quad e_2 = (0,1,0), \quad e_3 = (0,0,1) $$

그리고 $i,j = 1,2,3$에서 $e_i \sdot e_j = 1$이면 $i = j$이고, $e_i \sdot e_j = 0$이면 $i \ne j$이다. 그러므로 3차원 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ u = u_1e_1 + u_2e_2 + u_3e_3, \quad v = v_1e_1 + v_2e_2 + v_3e_3 $$

2번과 4번 특징을 이용하면 다음 식을 얻을 수 있다.

$$ u \sdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $$

추가적으로 벡터를 $t$에 대한 매개변수로 표현하고 $u(t)$와 $v(t)$, $t \in I$가 미분 가능한 곡선이면, $u(t) \sdot v(t)$는 미분 가능한 함수이고 다음과 같이 나타낸다.

$$ \frac{d}{dx} (u(t) \sdot v(t)) = u'(t) \sdot v(t) + u(t) \sdot v'(t) $$

Exercises

1. Find a parametrized curve $\alpha (t)$ whose trace is the circle $x^2+y^2=1$ such that $\alpha(t)$ runs clockwise around the circle with $\alpha(0) = (0, 1)$.

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$이고 $\alpha(0) = (0,1)$이기 때문에 $\sin(0) = 0, \cos(0) = 1$ 으로 생각하면
$\therefore \alpha(t) = (\sin(t), \cos(t))$

2. Let $\alpha(t)$ be a parametrized curve which does not pass through the origin. If $\alpha(t_0)$ is a point of the trace of $\alpha$ closest to the origin and $\alpha'(t_0) \ne 0$, show that the position vector $\alpha(t_0)$ is orthogonal to $\alpha'(t_0)$

먼저 $f(t) = \alpha(t)^2$라 하자, $\alpha(t)$는 원점을 지나지 않고 $t_0$에서 원점과 가장 가깝다고 하였으니 $f'(t_0) = 0$(최솟값이기 때문에 극소값)이 된다.
$\therefore f'(t_0) = 2\alpha(t_0)\alpha'(t_0) = 0$ 이므로 orthogonal 하다.

3. A parametrized curve $\alpha(t)$ has the property that its second derivative $\alpha''(t)$ is identically zero. What can be said about $\alpha$?

여기서 identically zero는 정의된 구간에서 함숫값이 0인 것을 말한다. 따라서 $\alpha''(t) = 0 \rightarrow \alpha'(t) = Constant$이다. 상수가 되기 위해서는 $t$에 대한 rank = 1이여야 하기 때문에
$\therefore \alpha$는 선(line)이다.

4. Let $\alpha: I \rightarrow R^3$ be a parametrized curve and let $v \in R^3$ be a fixed vector. Assume that $\alpha'(t)$ is orthogonal to $v$ for all $t \in I$ and that $\alpha(0)$ is also orthogonal to $v$. Prove that $\alpha(t)$ is orthogonal to $v$ for all $t \in I$.

$ <\alpha'(t) \sdot v > = 0 \Rightarrow \alpha'_x(t)v_x + \alpha'_y(t)v_y + \alpha'_z(t)v_z = 0$이라 할 수 있다. $v$는 fixed vector이기 때문에 상수이므로 항상 0이 되기 위해서는 $\alpha(t) = Constant \Rightarrow \alpha'(t) = 0 \quad (\because \alpha(0) = 0)$이 되어야 한다.
$\therefore <\alpha(t) \sdot v> = 0 $

5. Let $\alpha: I \rightarrow R^3$ be a parametrized curve, with $\alpha'(t) \ne 0$ for all $t \in I$. Show that $|\alpha(t)|$ is a nonzero constant if and only if $\alpha(t)$ is orthogonal to $\alpha'(t)$ for all $t \in I$.

$|\alpha(t)| = k$ ($\because$ nonzero constant) 이라고 하면 $\alpha(t)^2 = k^2$이다. 미분해보면 $2\alpha(t) \sdot \alpha'(t) = 0$ 이므로
$\therefore \alpha(t) \sdot \alpha'(t) = 0$

🦉 마무리 🦉

미분 기하학에서 기본이 되는 Curve와 매개변수(Parametrized) 표현 방법에 대해 알아보았다. 굉장히 기본적인 내용이지만 알아보기 쉽게 풀어 적다 보니 글 길이가 굉장히 길어졌다. 하지만 기본부터 탄탄하게 쌓아가야 후반부에 고생하지 않기 때문에 꼼꼼히 읽어보고 숙지해야 한다.